Алексей Комарницкий "Геометрия Лобачевского или путь к истине через презрение" эссе

А. Комарницкий  

ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО  

ИЛИ ПУТЬ К ИСТИНЕ ЧЕРЕЗ ПРЕЗРЕНИЕ  

Все знают, что в математике есть раздел, который называется геометрией. В настоящее время, геометрия сама имеет несколько различных направлений развития, но до начала XIX века было только одно такое направление. Именовалось оно евклидовой геометрией, в честь древнегреческого учёного Евклида (Александрия, III в. до Р. Х), который и оформил эту геометрию, как стройную математическую теорию. Он изложил её в научном труде "Начала", который был так чётко и понятно написан, что ещё до недавнего времени использовался в английских школах в качестве учебника геометрии.  

Евклид построил свою геометрию в соответствии с правилами построения математической теории: вначале сформулировал аксиоматическую её часть (основу, фундамент), а затем возводил саму теорию. Как кирпичи дома кладутся на фундамент и на уже положенные кирпичи, так и сама теория евклидовой геометрии опиралась только на аксиоматическую часть и те выводы, которые вытекали из неё и из подобных выводов.  

В аксиоматической части вводятся понятия, которые принимаются без определения и формулируется ряд утверждений, которые не противоречат друг другу и устанавливают взаимосвязи между различными понятиями. Эти утверждения называются аксиомами. Они не требуют доказательств, хотя бы потому, что на данном этапе никакие доказательства просто невозможны. После аксиоматической части строится основная теория. Здесь все понятия уже вводятся исключительно при помощи определений только через введённые ранее понятия. Все утверждения в этой части называются теоремами и требуют доказательств. В математической теории количество аксиом должно быть сведено до минимума: всё, что можно доказать, должно быть оформлено как теорема.  

В плоской евклидовой геометрии (планиметрии) было пять аксиом. На протяжении многих лет математиков не оставляло чувство, что этих аксиом больше, чем нужно, и, что одну из них, – пятую аксиому, можно доказать, как теорему, опираясь на четыре предыдущие. Некоторые и пытались это осуществить, но безуспешно. Среди таких математиков был профессор Казанского университета Николай Лобачевский (1792-1856). Это был талантливый математик, имеющий много серьёзных открытий. За свои заслуги он шесть раз избирался ректором Казанского университета. И вот он взялся за доказательство пятой аксиомы Евклида. Звучит эта аксиома так: Через одну точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Лобачевский взялся за её доказательство, применяя метод "от противного". Он предположил, что через точку можно провести несколько прямых, параллельных данной и пытался, строя цепочки последовательных умозаключений, получить противоречие. Противоречия он так и не получил, но заметил, что все эти математические выкладки увязываются в новую теорию, не менее стройную, чем евклидова геометрия. Многие теоремы в этой теории существенно отличаются от соответствующих теорем евклидовой геометрии. Например, сумма углов треугольника здесь оказывается меньше ста восьмидесяти градусов.  

Не знаю, понимал ли тогда сам Лобачевский всю значимость этой теории? Вряд ли. Однако, он всё же догадался, что это самое важное его открытие. Он с радостью поспешил познакомить с ним математическую общественность. Сперва сделал доклад для своих коллег в Казанском университете, а затем опубликовал свои результаты в научном журнале.  

Каково было его удивление, когда он натолкнулся на полное непонимание со стороны коллег. Они слышали: "Через точку можно провести несколько прямых, параллельных данной",, и у них возникало жёсткое несогласие, плотно преграждающее путь всем остальным доводам профессора. Они не знали даже, как возразить против этой нелепицы. Ведь самый бездарный гимназист, и тот знал, что через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной. А тут... Профессор... Ректор университета... Наверное, более уважаемые преподаватели университета всё-таки позволили себе открыто возразить ректору, что его утверждение не может быть верным, так как более двух тысяч лет человечество успешно пользовалось противоположным утверждением. Думаю, что открытыми заявлениями противодействие Лобачевскому не ограничилось. За его спиной были едкие насмешки, предположения, что ректор переусердствовал в умственной деятельности и повредился мозгами. Ещё бы: несёт такую чушь. Смех, да и только. Да, смех может оказаться очень серьёзной преградой даже для самых толковых доводов. Смех для истины – как зеркало для световых лучей: всё отражает, не пропуская ни на миллиметр. При этом, чем громче насмешники смеются, тем сильнее становится их убеждённость в собственной правоте. Очень удобно, ведь исчезает всякая необходимость в других доводах. А как насмешки действуют на тех, кто уже готов было склониться на сторону истины! Прямо, как ледяной душ на изнеженного и незакалённого человека.  

Кто-то поблагороднее, возможно, защищал Лобачевского, утверждая, что у талантов свои причуды, а одни только работы ректора по алгебре и теории чисел покрывают все его недостатки. Подобный здравый смысл в те годы всё-таки победил, поскольку Лобачевского продолжали переизбирать на должность ректора. Однако, его теория тогда не получила ни малейшей поддержки со стороны математиков, и только в конце XIX века, уже после смерти Лобачевского, математики совсем другого поколения оценили всю гениальность его открытия.  

Неужели Лобачевский был единственным учёным, который опережал развитие математики почти на сто лет? Гораздо позднее выяснилось, что это было не так. Примерно в то же время ещё несколько математиков пришли к тем же выводам, что и Лобачевский. Среди них был знаменитый немецкий математик Гаусс (1777-1855). Уже после его смерти в его архивах нашли записи, в которых излагалась теория, очень похожая на теорию Лобачевского. В бумагах Гаусса даже нашли упоминание о его практических исследованиях по вопросу того, какая геометрия более правильная в нашем мире: старая или новая. Гаусс ездил по разным географическим точкам и замерял какие-то углы.  

И теоретические, и практические исследования Гаусс проводил в глубокой тайне. Возникает вопрос: почему он не поделился своими открытиями с учёной общественностью, как это сделал Лобачевский? Надо сказать, что Гаусс в те времена был более знаменитым, чем Лобачевский, и если бы он опубликовал свои труды по неевклидовой геометрии, то этот раздел математики сейчас бы наверняка назывался Гауссовой геометрией, а о Лобачевском вряд ли бы кто-нибудь вспомнил. Но Гаусс этого не сделал. И это, как не парадоксально, объяснялось его стремлением к славе, но к славе сиюминутной и обыденной. Точнее сказать, он её и так имел и боялся ей повредить. Он не был столь наивен, как его русский коллега и знал, что подобные публикации могут пошатнуть его авторитет и вызвать нежелательные насмешки. Гаусс знал, что новая геометрия ближе к истине, чем евклидова, но любовь к этой самой истине не пересилила в нём других чувств.  

Предполагаю, что кто-то из читающих эти строки удивится и засомневается, что евклидова геометрия находится дальше от истины, чем какая-то экзотическая геометрия с двумя разными пересекающимися прямыми, параллельными данной, но это действительно так. Евклидова геометрия достаточно точна на листе бумаги или ватмана. Точность её ещё будет сносной на международном стадионе или поле для гольфа. Однако, уже на территории большого города евклидова геометрия будет отражать действительность со значительной погрешностью: прямые проспекты уж не очень то и прямые, круглые площади не очень-то и круглые и т. п. На ещё больших участках земной поверхности евклидова геометрия уже приводит к недопустимым ошибкам. Здесь будет более точной третья геометрия – так называемая геометрия Римана. В ней в плоскости вообще нет параллельных прямых. Моделью такой плоскости является сфера, а прямые в ней – окружности с таким же радиусом, что и сама сфера.  

Когда я спрашиваю у студентов, что такое прямая, они почти в один голос отвечают, что это линия, по которой расстояние между двумя точками наименьшее. Не думаю, что это утверждение можно считать определением прямой (она вообще не имеет определения), но сущность прямой оно, в какой-то мере, отражает. Так вот: по какой линии будет наименьшее расстояние от Одессы до Вашингтона? Не по дуге ли той самой окружности, лежащей на поверхности Земного Шара? Кто-то начнёт возражать, ссылаясь на какую-то другую, более короткую траекторию. Но скажите: по какому такому тоннелю я буду перемещаться по этой самой короткой траектории? А если и предположить, что кто-то когда-то такой тоннель выроет, то будет ли гарантия, что он пройдёт по той, самой короткой, траектории? Словом, как ни крути, а от евклидовой геометрии здесь мало толку.  

Вот один пример. Построим на поверхности Земли равнобедренный треугольник с основанием на экваторе и вершиной на Северном полюсе. Как вы понимаете, углы при основании равны каждый по 90 градусов и в сумме составляют 180 градусов. Но ведь есть ещё один угол. Так что сумма углов такого треугольника оказывается больше ста восьмидесяти градусов. Не переворачивает ли этот пример наши представления, сформировавшиеся со школьных лет на уроках геометрии?  

Если на поверхности Земли более точной оказывается геометрия Римана, то в микро и макромире точнее будет геометрия Лобачевского. Человеку бывает трудно осознать, почему евклидова геометрия не действует в бесконечных космических просторах. Ведь тут можно рисовать какие хочешь траектории и перемещаться по ним на воображаемых звездолётах. Почему же нельзя выбрать ту, которую с детства считал прямой? Спросишь у такого "путешественника": "Как по евклидовой прямой долететь, скажем, вон до той звезды? ", а он радостно отвечает, что это очень просто. Достаточно постоянно во время полёта держать курс прямо на эту светящуюся точку. Вопрос только в том: откуда такая уверенность, что свет от этой точки перемещается именно по той траектории, которая воображается нашему "путешественнику", а не по какой-нибудь дуге? Есть пути, которые только кажутся человеку прямыми.  

Рассказал я об этих событиях почти двухсотлетней давности не только для того, чтобы расширить ваш кругозор. Хочу ещё использовать их в качестве некой притчи, чтобы попытаться донести несколько мыслей до тех, кому хватило терпения дочитать до этого места и готовы читать дальше. Человек в своей жизни руководствуется определённой системой взглядов (убеждений, принципов). Эта система имеет какое-то отдалённое сходство с математической теорией. В её основе лежит несколько убеждений, подобных аксиомам, которые человек когда-то принял без доказательства, на веру. На них, как на фундаменте, строится вся остальная система взглядов. Остальные убеждения человек формирует в течение жизни, получая из разных источников знания и пропуская их через фильтр уже имеющихся убеждений. Знания, противоречащие этим убеждениям автоматически отвергаются. При этом зачастую не пропускаются даже те факты, которые человек получает непосредственно через глаза и уши. Например, когда ребёнок уже твёрдо знает, что Деда Мороза нет, он, видя дядьку в красной шубе, белой шапке, с длинной бородой и большой палкой, не воспринимает его всерьёз.  

Думаю, каждый понимает, что убеждения человека далеко не всегда бывают истинными. Когда человек имеет ложное убеждение, возможны два случая: либо он когда-то допустил ошибку и принял факт, противоречащий уже имеющимся убеждениям, либо ложными являются одно или несколько первоначальных, фундаментальных убеждений (аксиом).  

Если человек живёт с ложными убеждениями, то, рано или поздно, он придёт к тому, на что совсем не надеялся, и это будет для него очень неожиданным. И то, к чему он придёт, будет гораздо худшим, чем он ожидал. Хочу сразу исключить из рассмотрения человеческие представления, которые часто заполняют наши головы, но абсолютно не связаны с жизненно важными для конкретного человека вопросами. Это, например, такие убеждения, как: "Если такая-то футбольная команда выиграет у такой-то, то моя любимая команда выйдет в финал" или "Если в такой-то африканской стране победит такой-то президент, то в такой-то европейской стране уменьшится безработица". Такие убеждения, не важно, окажутся они истинными или ложными, в конце концов, сильно или слабо пощипав нервы, не принесут человеку никакой реальной пользы.  

Хочу поговорить об убеждениях судьбоносных, которые вызывают действие или бездействие, влияющее на жизнь и смерть человека, на его реальные победы и поражения. Ведь если подобные убеждения окажутся ложными, то приведут они к ситуации гораздо более печальной, чем невыход футбольной команды в финал.  

Представьте себе человека, который жил себе в своём доме и не тужил, имел семью и какое-то хозяйство, и вот, в один прекрасный день, кто-то ему с уверенностью сообщает, что жилища его вскоре не станет, что находится дом на краю обрыва, от которого в ближайшее время вместе с домом отколется пласт грунта. Что делать этому человеку? Если это утверждение истинно, то нужно обязательно применять какие-то меры: переселять семью, возможно даже на улицу, спасать имущество. А что, если это неправда или жестокий розыгрыш? Зачем тогда подобные лишения? А как в этом случае посмеются соседи! Человек может возразить, что уже больше ста лет его предки жили в этом доме, и никуда он не падал, и успокоиться. Ещё он может просто рассмеяться вестнику прямо в лицо, сказав что-то вроде: "Видали мы таких пророков. Смотри лучше за своим домом. " Человек пообстоятельнее может вспомнить, что не так давно рядом работали два геодезиста и сказали, что обрыв держится на твёрдой скале, а вспомнив об этом, успокоиться и жить дальше в доме. Думаю, что во всех трёх случаях хозяин дома поступает по меньшей мере неблагоразумно. Участь, которую ему предсказывают, совершенно не соизмерима ни с лишениями, ни с насмешками. Когда он апеллирует к предкам, то, может, не стоит сразу успокаиваться? Может, стоит расспросить стариков: вдруг они скажут, что когда-то дом был значительно дальше от края обрыва, но постепенно пласты отслаивались и край приближался? Реакцию насмешника вообще не хочется комментировать. Ведь это полная глупость, слыша об опасности, не только никак на это не реагировать, но при этом опираться на одни только насмешки. Заслуживает внимания реакция почитателя науки, вспомнившего о геодезистах. Не слишком ли быстро он успокоился? Может нужно было ещё задавать себе вопросы: "А действительно ли они были геодезистами? Ведь диплома то я у них не спрашивал. Может они были всего-навсего практикантами, которые когда-то что-то ляпнули и уже о том забыли? А я тут на их мнение опираюсь. Может позвать других геодезистов? " И наверное нужно было бы их позвать, и попытаться самому вникнуть в их доводы, а пока суть да дело, готовиться к эвакуации. Возможна ещё и четвёртая ситуация, когда хозяин дома, услышав предупреждение, тихо отвечает, что ему это уже и так известно. А на вопрос: "Почему же вы ничего не предпринимаете? ", отвечает: "Соседи-насмешники меня не поймут. ", или "Просто лень. ", или "Я ещё немного поживу, а потом успею принять меры. " Против таких доводов я даже не знаю, как возразить: знать истину и вести себя, как будто ты её не знаешь?.. Вместо того, чтобы строить новый дом, возведя его фундамент на твёрдом камне, лепить какие-то пристройки к дому, который вскоре завалится на вашу голову!  

Когда человек сталкивается с утверждениями или фактами, противоречащими некоторым его убеждениям, то ему гораздо быстрее придёт в голову мысль, что его обманывают или пытаются разыграть, чем то, что он был обманут несколько раньше и уже какое-то время жил, пользуясь ложными представлениями. Однако, любой благоразумный человек обязательно должен неформально уделить этим фактам или утверждениям достаточно внимания. Я не говорю, что мы должны быть готовы с лёгкостью принять утверждение, противоречащее нашим убеждениям. Ведь ложь пытается проникнуть в наши умы ещё чаще, чем истина. Я говорю, что когда речь идёт о жизненно важных вопросах, нужно ещё раз взвесить, на сколько основательны наши убеждения. Нужно попытаться добраться до их фундамента. Если он твёрд и стоит на скале, то нужно отбросить противоречащее утверждение, как ложное. Если же убеждения шатки и держатся на насмешках, или на тысячелетнем опыте предков, или на, хоть и очень распространённых, но сомнительных и непроверенных "научных" утверждениях, то, наверное, стоит не успокаиваться и пересмотреть убеждения, заменив их более основательными. В этом случае не нужно уподобляться Гауссу, приняв истину, но продолжая строить своё поведение на старых, ложных убеждениях.  

Тот, кого я хоть немного убедил, может испытать данную методику на конкретном, очень практическом примере. Я приведу несколько жизненно важных утверждений, а вы, на основании своих состоятельных убеждений либо опровергнете их, либо признаете, как истинные. Они могут показаться вам нелепыми, но вы, прежде, чем их отклонить, докопайтесь до источников такого восприятия. Действительно ли они столь безупречны?  

УТВЕРЖДЕНИЯ  

1. Есть великий Бог, который сотворил наш мир.  

2. Существование человека не заканчивается земной смертью.  

3. Каждый человек, в своём теперешнем состоянии, хоть и кажется себе сносным, но перед Богом виноват. В будущем его ждёт Божий суд и справедливое возмездие.  

4. Бог любит каждого человека и хочет спасти. Со Своей стороны Он для этого всё уже сделал.  

5. Любой человек может избежать Божьего гнева, доверив свою жизнь Сыну Божьему Иисусу Христу, приняв верою, что Христос на кресте понёс наказание за его грехи.  

Напоследок у меня вам есть короткое пожелание: вспоминайте о Гауссе!